有界随机变量和正态分布的尾巴

时间：2022-02-26 14:09:04

现在我们要考虑的是一个probabilityconcentration的问题，也可以说是去研究概率分布的尾巴。在随机变量方差存在的情况下，我们有切比雪夫不等式。它利用到了随机变量的方差，而且它的界是紧的，即我们总可以构造出一个随机变量使切比雪夫不等式取等号。但是，对于一些常见的概率分布而言，无论是正态分布还是指数分布等，切比雪夫的界都显得太过粗糙。

（4）点估计--极大似然估计（要注意离散也要会，可靠性常用也要会。指数分布、双参数指数分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、威布尔分布、三参数威布尔、瑞丽分布、截尾指数分布等。核心就是N个相乘构造似然函数，求出对数似然函数，求导或者求偏导令为0，得出极大似然估计。）

那什么决定了你的商业模式到底是正态分布，还是指数分布呢？就是你每单对客户的时间成本。什么是对客户的时间成本？就是你和客户从成交开始，到最后完成交易的这段时间。如果你能将你客户的时间成本降低到0或者接近于0，那你的商业模式就是指数分布模式。如果你不能，那你的商业模式就是正态分布模式。

什么是正态分布模式？就是做得很差的，和做得很好的都很少，大部分是做的一般的。什么是指数分布模式呢？就是做的很好的可以拿走这个行业绝大部分的利润，而那样做得很差的，连口汤都喝不上。你要么好，要么坏，没有中间状态。

要注意的一点是：虽然指数分布是可靠性分析中适用的，根据该分布，随着时间的推移，故障率会趋于一个恒定值，见下图“浴盆曲线”的中间部分。但是对于工业产品，其曲线不会这么规则，会有很多的变异的存在，不能完全生搬硬套。

通过Hoeffding不等式我们知道有界随机变量和正态分布的尾巴是以这一速度趋于0的，但并不是所有的分布都能达到这种速度。比如我们熟知的指数分布，它就是级别的收敛速度。Chernoff不等式对于01伯努利分布的和给出了一个更好的界，由二项分布的泊松近似可知参数为的泊松分布的右尾满足：，这说明泊松分布的尾的收敛速度是级别的。